5分鐘探索：如何應用凱利方程式，幫助你找到大賺小賠的解方？

如果現在有一個輪盤遊戲從天而降

根據你的選擇，而給你不同獎金，是你會怎麼選呢？？

Ａ：80％的機會可以贏走一萬塊

Ｂ：50%的機會可以贏走十萬塊

Ｃ：10%的機會可以贏走五十萬

別急，答案我們先記著

而這個問題，其實會以不同的形式包裝在日常生活中，頻繁出現

可能是投資人的持倉配置與管理

可能是遊戲輸與贏的資金投注率等等～

你有下重注的本事嗎？？

希望今天和各位朋友分享的『凱利方程式』

可以幫助各位朋友解決日常中，風險與報酬的評估！

內容目錄

關於凱利方程式？

由來

西元1955年的美國電視遊戲節目：64000美元問題（The $64,000 Question）

由於長途直播導致的資訊延遲

導致美國東岸與西岸有資訊差

其中就有些賭徒，透過長途電話事先告知結果並下注

進而賺取金錢

然而，當時的通訊技術不像現在這麼多元

長途電話的收訊常常有雜訊干擾

使得即使有資訊差仍然也具有風險存在

這個現象被當時美國電報公司（AT&T）中，

貝爾實驗室的物理學家：凱利(John Larry Kelly, Jr.)注意到了

並在後續與同僚討論賽馬的過程中

推導出了這套『凱莉方程式』

希望能夠找到一個策略，將風險最小化，並將收益極大化

之後更是由：愛德華．索普

在遊戲21點上發揮地淋漓盡致！

組成

那我們來看看凱利方程式究竟長什麼樣子呢？？

凱利方程式：f(p)={pb-(1-p)} / b
f(p)：下注比例
p：勝率（獲利機率）
b：賠率

當我們客觀看一個賽局時

如果成功的機率（獲利機率）是：p

那失敗的機率（虧損機率）則是：(1-p)

那賠率指的是什麼？？

賠率白話說就是：當我虧損1元時我能賺幾元？？

也可以表示為：賠率＝獲利金額/虧損金額

這邊表示為：b（當我虧損1元時，我能賺b元）

而f(p) 就是下注比例（我應該要用本金的多少比例下注）

而凱利方程式就是用來呈現：

在正期望值的條件之下，透過不斷重複的操作後，進而獲得長期增益率最大化的狀況！

實例

我想用簡單的實例操作一次，大家應該更容易了解！

就用最常見的擲骰子遊戲當例子就好

躑到1點就給你10塊

躑到其他點數都賠1塊

如果碰到這樣的遊戲，凱利方程式是怎麼建議我們呢？？

關鍵的數值拉出來計算：

勝率（獲利率）：1/6

敗率（虧損率）：1-1/6=5/6

賠率：10/1

期望值＝報酬＊機率總和＝(1/6)10+(5/6)(-1)=5/6 > 0

下注比例：8.3％

這意味著，如果你有本金100塊的話

你只需要一直投8塊來玩這個遊戲

就能從中獲利！

但由於這個遊戲的勝率、報酬率其實都不太吸引人

所以凱利公式並不建議你花太多錢

如果參加一次遊戲還要花入場費9塊的話，就乾脆pass了吧

凱利方程式引導我們思考？

這個賽局要玩嗎？？

很簡單，我們只玩對我們有利的賽局！

怎麼樣可以看出賽局有利與否呢？？

那就需要看『期望值（expected value)』

而期望值=機率＊報酬的總和

一個公平的賽局期望值為零

對我們有利的賽局期望值必須要大於零，反之則為負值

而期望值其實也藏在凱利公式的分子之中

一樣用上面擲骰子遊戲為例：

從這個遊戲中，觀察凱利公式的分子我們就可以發現

期望值＝機率＊報酬的總和＝(1/6)10+(5/6)(-1) =5/6 > 0 （正值）

這是一個正ＥＶ的遊戲

即使不夠吸引人，但是可以參加的！

這個賽局玩幾次？？

如果這個賽局只玩一次

那凱利方程式還是很有機會碰壁的

機率是大數據的結果

凱利方程只是給你一個參考比例去『不斷』操作的策略

進而具現化出數據呈現的成果～～

這個賽局輸的起嗎？？

這個問題，正是在尋找自身的風險承受度為何

每個人的風險承受度都不同

但一定要先認識自己：

『你的本金能讓你操作幾次？？』

『如果你在這把賽局把本金都輸光，你能承受嗎？？』

凱利法則也許能幫助我們找到最適合下注的比例

但生活中也並非只有凱利法則

搭配資產配置將可承受的風險獨立出來操作

才能更穩固地站在只贏不輸的策略上，放大資產！

另外，從凱利方程式我們也發現到：

除非你一定能夠從賽局中獲勝，否則不要 all in 本金！！

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勝率最重要？？

很多投資人會很看重勝率這件事

也就是我這次的操作到底是賺錢還是賠錢？

如果本金50塊給你操作20次，19次都賺 1 塊錢，最後一次賠100塊錢

勝率很漂亮：95%

但我相信你一定不快樂！

不論是凱莉法則的建議、或是從期望值的角度去看

很顯然單看『勝率』是不夠的！

你必須要將『報酬』考慮進去！

畢竟，操作本身只是過程

目標都是希望壯大資產、越來越有錢才是結果！

要做好全面性的評估才是重中之重

生活應用：分散投資 vs 集中投資？？

只買ＥＴＦ的投資者

認同的觀念可能會是：『不要把雞蛋都放在同個籃子裡！』

但如果像巴菲特、查理蒙格的價值投資者

可能會說：『要把雞蛋都放在同個籃子裡，並且看好他！』

這兩種看似相反的概念，凱莉法則也能解釋嗎？？

『可以的！』

我們再回顧一下凱莉法則的組成

影響投資的比例不外乎就是：勝率、賠率

集中投資

但在生活中，投資勝率與賠率都不可能是固定的！

不過價值投資者，專注在研究自己看好的公司

對自己看好的標的研究較深入

自然更能掌握勝率與賠率的準確度！！

另外，即便透過凱莉方程得到的下注比例是20%好了

也一樣能依照自身資產配置的狀況、風險承受度再調降，比如投10%即可

得到更為穩健的安全邊際

分散投資

而ＥＴＦ的投資者，則是採取完全不同的思維

也許沒辦法花太多時間在研究市場標的

得到的勝率與賠率較為不準確、掌握度不高

所以即便連獲利也一起被稀釋掉，也要將標的盡可能地分散，進而降低風險！

透過分散風險來參與市場的成長，也賺到時間複利的增值！

但這有一個非常大的先決條件：市場是穩定成長的！！

也就是說：『他是看好市場的成長＝期望值是正值！！』

而從美股大盤指數的歷史走勢來看，過去三十年呈現的趨勢也還是向上成長的！

所以即使不花時間，只要參與市場並加上時間複利的加成，來讓資產成長！

至於哪個才對？？這沒有對錯！！

因為策略不同、個人的配置不同、風險承受度也不同

結論

文章開頭的問題，其實沒有一定的答案，是因人而異的

最主要還是要透過對自身的了解與認識、勝率與賠率的掌握程度

而凱利方程式可以在期望值為正值的前提下

透過對勝率與賠率的掌握程度

幫助我們找到一個可以大賺小賠的策略

抓出風險與報酬的自我平衡

最好也要結合資產配置的觀念

在只贏不輸的前提下，還能透過凱利方程進一步的放大資產！！

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